Mastermind
et Super Mastermind
Quelques
notions de mathématiques autour de ce jeu.
Par
Pierre ABDEL-AHAD - geniuspierre@yahoo.com
Le
produit cartésien :
Dans
le jeu "Super Mastermind Deluxe", nous avons présenté
5 modes de jeu qui peuvent se jouer à 3 niveaux différents.
Donc, on pourrait faire plusieurs choix de jeu. Soit les 2 ensembles:
M={1,2,3,4,5} (les modes) et N={n,e,c} (les niveaux). Le produit cartésien
de ces 2 ensembles noté M X N (qui se lit M croix N), sera l’ensemble
M X N={(1,n), (2,n), (3,n), (4,n), (5,n), (1,p), (2,p), (3,p), (4,p),
(5,p), (1,c), (2,c), (3,c), (4,c), (5,c)}. Le nombre total des éléments
de M X N est égal au nombre total des éléments de
M multiplié par le nombre total des éléments de N.
On note tout cela par:
Card(M X N) =Card(M)*Card(N) =5*3 =15 choix de jeux différents.
Les p-listes :
Au niveau "Commando", toutes les combinaisons sont
possibles: pions identiques, avec ou sans trous. Considérons le
premier mode du jeu: 4 trous / 6 couleurs: chaque trou peut être
occupé par les 6 couleurs, ou bien rester vide; donc il y aura
7 possibilités pour chaque trou. Ainsi nous formons des 4-listes
(par exemple: rouge vide rouge jaune). Et le nombre total de ces 4-listes
sera: 7^4(7 est le nombre des possibilités)=7*7*7*7=2401 combinaisons
possibles. Au niveau "Expert", où l’ordinateur
s’autorise une combinaison avec 2 (voir plus) pions identiques, mais
sans trou, le nombre total des 4-listes sera: 6^4=6*6*6*6=1296
combinaisons.
Les arrangements
:
Au niveau "normal", l’ordinateur s’interdit
les doublons et les trous dans la combinaison. Par contre, les 4 ou 6
couleurs peuvent être permutés. Pour le mode : 4 trous/6
couleurs, on pourra former :
4=6!/(6-4)!=(6*5*4*3*2*1)/(2*1)=360 combinaisons 6
Les combinaisons
:
Soit
un niveau (qui n’existe pas dans le jeu, mais qui pourra nous servir),
où on devrait trouver seulement les couleurs, sans la place qu’elles
occupent (en d’autres termes, on n’aura plus besoin de petits
pions noirs, les blancs suffisent pour nous renseigner si la couleur existe
ou pas). Considérons toujours le mode : 4 trous/6 couleurs,
on pourra seulement former :
4=(6 !/4 !)/(6-4) !=(6*5*4*3*2*1/4*3*2*1)/2*1=15 combinaisons 6
Les
permutations :
On
a déjà parlé que dans le niveau normal, les 4 ou
6 couleurs qui forment une combinaison peuvent être permutées.
Par exemple, si on a la combinaison 1 2 3 4, on pourra permuter ces nombres
de différentes manières :
1234 1243 1324 1342 1423 1432 2134 2143 2314 2341 2413 2431 3124 3142 3214 3241 3412 3421 4123 4132 4213 4231 4312 4321
En effet le nombre de permutations pour 4 éléments P4=4 !=4*3*2*1=24
On déduit par ce qui précède que le nombre d’arrangements est égal au nombre de combinaisons multiplié par le nombre de permutations :A=C*P
Tableau récapitulatif
:
Pour vous donner une idée, un tableau a été dressé,
indiquant les combinaisons possibles pour chaque mode.
Trous
Couleurs
Normal
Expert
Commando
4
6
360
1296
2401
4
8
1680
4096
6561
6
8
20160
262144
531441
6
10
151200
1000000
1771561
6
12
665280
2985984
4826809
Vous pouvez également
télécharger une feuille de calcul Excel qui vous permettra
de calculer le nombre de combinaisons possibles pour un nombre quelconque
de couleurs et de trous suivant les trois modes : Normal, expert et commando.
Mastermind.xls
